[图文解析]2020年上海中考数学第25题（倒一压轴—圆与全等、相似、特殊三角形）

2020年上海中考第25题（倒一压轴）

（圆与全等、相似、特殊三角形）

【2020·上海】如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．

（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；

（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；

（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．

---

---

【图文解析】

（1）如下图示，根据垂径定理的推论和等腰三角形的性质得到证明：

具体过程如下：

证明：连接OA．

∵AB＝AC，∴弧AB＝弧AC．

∴OA⊥BC，∴∠BAO＝∠CAO．

∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAO．

∴∠BAC＝2∠BAD．

（2）情况一：当BC＝CD时，如下图示：

得3x+3x+4x=180°，解得x=18°，所以∠BCD＝4x=72°．

情况二：当BD＝BC时，如下图示：

得3x+3x+2x=180°，解得x=22.5°，所以∠BCD＝3x=67.5°．

情况三：当DB＝DC时，则点D与点A重合，这种情形不存在．

综上所述，∠C的值为67.5°或72°．

（3）本题有多种解法，过其中任意一点作相关线段的平行线构造“平行线分线段成比例定理”的基本图形均可求解，本公众号已有多篇文章分析，如以下几篇文章（可直接点击打开阅读）

下面仅提供十种解题思路，类似解法不一一列出：

法一：如下图示，作AE∥BC交BD的延长线于E．可得：

进一步，得：

整理，得：9t²=7a²=25-49a²．

解得a²=25/56，得9t²=25/8．

进一步，得36t²=25/2．

所以BC＝6t=5√2/2．

法二：如下图解

法三：如下图解

法四：如下图解

法五：如下图解

法六：如下图解

法七：如下图解

法八：如下图解

法九：如下图解

法十：如下图解

……

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